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Sage est doté d’une importante documentation intégrée, accessible en tapant (par exemple) le nom d’une fonction ou d’une constante suivi d’un point d’interrogation :

sage: tan?
Type:        <class 'sage.calculus.calculus.Function_tan'>
Definition:  tan( [noargspec] )
Docstring:

    The tangent function

    EXAMPLES:
        sage: tan(pi)
        0
        sage: tan(3.1415)
        -0.0000926535900581913
        sage: tan(3.1415/4)
        0.999953674278156
        sage: tan(pi/4)
        1
        sage: tan(1/2)
        tan(1/2)
        sage: RR(tan(1/2))
        0.546302489843790
sage: log2?
Type:        <class 'sage.functions.constants.Log2'>
Definition:  log2( [noargspec] )
Docstring:

    The natural logarithm of the real number 2.

    EXAMPLES:
        sage: log2
        log2
        sage: float(log2)
        0.69314718055994529
        sage: RR(log2)
        0.693147180559945
        sage: R = RealField(200); R
        Real Field with 200 bits of precision
        sage: R(log2)
        0.69314718055994530941723212145817656807550013436025525412068
        sage: l = (1-log2)/(1+log2); l
        (1 - log(2))/(log(2) + 1)
        sage: R(l)
        0.18123221829928249948761381864650311423330609774776013488056
        sage: maxima(log2)
        log(2)
        sage: maxima(log2).float()
        .6931471805599453
        sage: gp(log2)
        0.6931471805599453094172321215             # 32-bit
        0.69314718055994530941723212145817656807   # 64-bit
sage: sudoku?
File:        sage/local/lib/python2.5/site-packages/sage/games/sudoku.py
Type:        <type 'function'>
Definition:  sudoku(A)
Docstring:

    Solve the 9x9 Sudoku puzzle defined by the matrix A.

    EXAMPLE:
        sage: A = matrix(ZZ,9,[5,0,0, 0,8,0, 0,4,9, 0,0,0, 5,0,0,
    0,3,0, 0,6,7, 3,0,0, 0,0,1, 1,5,0, 0,0,0, 0,0,0, 0,0,0, 2,0,8, 0,0,0,
    0,0,0, 0,0,0, 0,1,8, 7,0,0, 0,0,4, 1,5,0,   0,3,0, 0,0,2,
    0,0,0, 4,9,0, 0,5,0, 0,0,3])
        sage: A
        [5 0 0 0 8 0 0 4 9]
        [0 0 0 5 0 0 0 3 0]
        [0 6 7 3 0 0 0 0 1]
        [1 5 0 0 0 0 0 0 0]
        [0 0 0 2 0 8 0 0 0]
        [0 0 0 0 0 0 0 1 8]
        [7 0 0 0 0 4 1 5 0]
        [0 3 0 0 0 2 0 0 0]
        [4 9 0 0 5 0 0 0 3]
        sage: sudoku(A)
        [5 1 3 6 8 7 2 4 9]
        [8 4 9 5 2 1 6 3 7]
        [2 6 7 3 4 9 5 8 1]
        [1 5 8 4 6 3 9 7 2]
        [9 7 4 2 1 8 3 6 5]
        [3 2 6 7 9 5 4 1 8]
        [7 8 2 9 3 4 1 5 6]
        [6 3 5 1 7 2 8 9 4]
        [4 9 1 8 5 6 7 2 3]

Sage dispose aussi de la complétion de ligne de commande, accessible en tapant les quelques premières lettres du nom d’une fonction puis en appuyant sur la touche tabulation. Ainsi, si vous tapez ta suivi de TAB, Sage affichera tachyon, tan, tanh, taylor. C’est une façon commode de voir quels noms de fonctions et d’autres structures sont disponibles en Sage.

Fonctions, indentation et itération

Les définitions de fonctions en Sage sont introduites par la commande def, et la liste des noms des paramètres est suivie de deux points, comme dans :

sage: def is_even(n):
...       return n%2 == 0
sage: is_even(2)
True
sage: is_even(3)
False

Remarque : suivant la version du notebook que vous utilisez, il est possible que vous voyez trois points ... au début de la deuxième ligne de l’exemple. Ne les entrez pas, ils servent uniquement à signaler que le code est indenté.

Les types des paramètres ne sont pas spécifiés dans la définition de la fonction. Il peut y avoir plusieurs paramètres, chacun accompagné optionnellement d’une valeur par défaut. Par exemple, si la valeur de divisor n’est pas donnée lors d’un appel à la fonction ci-dessous, la valeur par défaut divisor=2 est utilisée.

sage: def is_divisible_by(number, divisor=2):
...       return number%divisor == 0
sage: is_divisible_by(6,2)
True
sage: is_divisible_by(6)
True
sage: is_divisible_by(6, 5)
False

Il est possible de spécifier un ou plusieurs des paramètres par leur nom lors de l’appel de la fonction ; dans ce cas, les paramètres nommés peuvent apparaître dans n’importe quel ordre :

sage: is_divisible_by(6, divisor=5)
False
sage: is_divisible_by(divisor=2, number=6)
True

En Python, contrairement à de nombreux autres langages, les blocs de code ne sont pas délimités par des accolades ou des mots-clés de début et de fin de bloc. Au lieu de cela, la structure des blocs est donnée par l’indentation, qui doit être la même dans tout le bloc. Par exemple, le code suivant déclenche une erreur de syntaxe parce que l’instruction return n’est pas au même niveau d’indentation que les lignes précédentes.

sage: def even(n):
...       v = []
...       for i in range(3,n):
...           if i % 2 == 0:
...               v.append(i)
...      return v
Syntax Error:
       return v

Une fois l’indentation corrigée, l’exemple fonctionne :

sage: def even(n):
...       v = []
...       for i in range(3,n):
...           if i % 2 == 0:
...               v.append(i)
...       return v
sage: even(10)
[4, 6, 8]

Il n’y a pas besoin de placer des points-virgules en fin de ligne ; une instruction est en général terminée par un passage à la ligne. En revanche, il est possible de placer plusieurs instructions sur la même ligne en les séparant par des points-virgules :

sage: a = 5; b = a + 3; c = b^2; c
64

Pour continuer une instruction sur la ligne suivante, placez une barre oblique inverse en fin de ligne :

sage: 2 + \
...      3
5

Pour compter en Sage, utilisez une boucle dont la variable d’itération parcourt une séquence d’entiers. Par exemple, la première ligne ci-dessous a exactement le même effet que for(i=0; i<3; i++) en C++ ou en Java :

sage: for i in range(3):
...       print i
0
1
2

La première ligne ci-dessous correspond à for(i=2;i<5;i++).

sage: for i in range(2,5):
...       print i
2
3
4

Le troisième paramètre contrôle le pas de l’itération. Ainsi, ce qui suit est équivalent à for(i=1;i<6;i+=2).

sage: for i in range(1,6,2):
...       print i
1
3
5

Vous souhaiterez peut-être regrouper dans un joli tableau les résultats numériques que vous aurez calculés avec Sage. Une façon de faire commode utilise les chaînes de format. Ici, nous affichons une table des carrés et des cubes en trois colonnes, chacune d’une largeur de six caractères.

sage: for i in range(5):
...       print '%6s %6s %6s'%(i, i^2, i^3)
     0      0      0
     1      1      1
     2      4      8
     3      9     27
     4     16     64

La structure de données de base de Sage est la liste, qui est — comme son nom l’indique — une liste d’objets arbitraires. Par exemple, la commande range que nous avons utilisée plus haut crée en fait une liste :

sage: range(2,10)
[2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9]

Voici un exemple plus compliqué de liste :

sage: v = [1, "hello", 2/3, sin(x^3)]
sage: v
[1, 'hello', 2/3, sin(x^3)]

Comme dans de nombreux langages de programmation, les listes sont indexées à partir de 0.

sage: v[0]
1
sage: v[3]
sin(x^3)

La fonction len(v) donne la longueur de v ; v.append(obj) ajoute un nouvel objet à la fin de v ; et del v[i] supprime l’élément d’indice i de v.

sage: len(v)
4
sage: v.append(1.5)
sage: v
[1, 'hello', 2/3, sin(x^3), 1.50000000000000]
sage: del v[1]
sage: v
[1, 2/3, sin(x^3), 1.50000000000000]

Une autre structure de données importante est le dictionnaire (ou tableau associatif). Un dictionnaire fonctionne comme une liste, à ceci près que les indices peuvent être presque n’importe quels objets (les objets mutables sont interdits) :

sage: d = {'hi':-2,  3/8:pi,   e:pi}
sage: d['hi']
-2
sage: d[e]
pi

Vous pouvez définir de nouveaux types de données en utilisant les classes. Encapsuler les objets mathématiques dans des classes représente une technique puissante qui peut vous aider à simplifier et organiser vos programmes Sage. Dans l’exemple suivant, nous définissons une classe qui représente la liste des entiers impairs strictement positifs jusqu’à n. Cette classe dérive du type interne list.

sage: class Evens(list):
...       def __init__(self, n):
...           self.n = n
...           list.__init__(self, range(2, n+1, 2))
...       def __repr__(self):
...           return "Even positive numbers up to n."

La méthode __init__ est appelée à la création de l’objet pour l’initialiser ; la méthode __repr__ affiche l’objet. À la seconde ligne de la méthode __init__, nous appelons le constructeur de la classe list. Pour créer un objet de classe Evens, nous procédons ensuite comme suit :

sage: e = Evens(10)
sage: e
Even positive numbers up to n.

Notez que e s’affiche en utilisant la méthode __repr__ que nous avons définie plus haut. Pour voir la liste de nombres sous-jacente, on utilise la fonction list :

sage: list(e)
[2, 4, 6, 8, 10]

Il est aussi possible d’accéder à l’attribut n, ou encore d’utiliser e en tant que liste.

sage: e.n
10
sage: e[2]
6

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Algèbre de base et calcul infinitésimal

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